Área do paralelogramo

O paralelogramo é um polígono que possui quatro lados, sendo que os segmentos paralelos possuem medidas iguais. Como todo quadrilátero, a soma dos ângulos internos é de 360º. Possui duas diagonais que se cruzam no ponto médio e os ângulos opostos possuem medidas iguais. Exemplo de um paralelogramo: 

A fórmula usada para calcular a área de um paralelogramo é A = b x h (b: base e h: altura), sendo que a altura é perpendicular a base. 

Retângulo: possui os quatro ângulos com medidas iguais, cada um medindo 90º e os lados paralelos opostos iguais.

Losango: possui os quatro lados com medidas iguais, ângulos opostos iguais, sendo dois ângulos agudos (medida menor que 90º) e dois ângulos obtusos (medida maior que 90º), lados paralelos entre si.

Quadrado: possui quatro lados com medidas iguais e os quatro ângulos com medidas iguais a 90º cada um.

Área do retângulo e do quadrado

Marcinha mora em uma casa que possui uma enorme área coberta. O pai de Marcinha resolveu colocar cerâmica na área. O pedreiro contratado para realizar a obra mediu a área e disse que ela tem a forma retangular com as seguintes dimensões: 9 metros de largura e 12 metros de comprimento, totalizando uma área de 108 metros quadrados (m²). Veja a ilustração da área:

Se o pai de Marcinha resolver comprar blocos de piso no formato quadrado, de 1 metro de largura e 1 metro de comprimento, ele precisará de pelo menos 108 blocos, pois cada um deles tem 1 metro quadrado (m²) de área e a superfície total da área coberta é de 108 metros quadrados (m²).

A área do quadrado e do retângulo é calculada multiplicando a medida do comprimento pela medida da largura. Todas as medidas devem estar na mesma unidade de comprimento. Veja a superfície da área com os blocos de cerâmica enumerados com dimensões de 1 metro de comprimento e 1 metro de largura. 

Foram utilizados 108 blocos de cerâmica para cobrir toda a superfície da área. 

Importante: O metro quadrado (m²) equivale à superfície ocupada por 1 quadrado de 1 metro de lado. 


Após cobrir toda a superfície da área, o pai de Marcinha pretende trocar todo o piso da sala de vídeo da casa. As dimensões da sala são 6 metros de comprimento e 4 metros de largura.

A partir dessas dimensões conclui-se que a sala possui 24 metros quadrados de área (6m x 4m).

Área do losango

Losango é uma figura plana conhecida como quadrilátero, possuindo assim duas diagonais. O seu diferencial com relação às outras figuras que possuem 4 lados é que as suas diagonais cruzam perpendicularmente, ou seja, no ponto em comum das duas diagonais forma um ângulo de 90º.

Portanto, a área do losango poderá ser calculada utilizando a seguinte fórmula:

Área do trapézio

Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos, ou seja, o trapézio é um quadrilátero que possui um par de lados paralelos.

Os lados paralelos do trapézio são chamados de bases. Como as bases sempre serão diferentes, os trapézios têm então, uma base maior e uma base menor. A distância entre as bases é a altura do trapézio. Podemos classificar os trapézios de acordo com os lados não-bases em:

• Isósceles – os lados não-bases são congruentes, ou seja, iguais
• Escaleno – os lados não-bases não são congruentes
• Retângulo – possui dois ângulos retos (90°)

Área do triângulo

A área de um triângulo é calculada utilizando as dimensões da base e altura do triângulo através da fórmula  , mas essa fórmula somente é aplicada nos triângulos em que se conhece a medida da altura. Para o cálculo da área de um triângulo qualquer podemos utilizar outras fórmulas.

Área do círculo

A = π r²

EX1 = Determine a área do círculo cujo raio mede 10 cm.

A = π r²
A = 3,14 . (10)²
A = 3,14 . 100
A = 314 CM

Comprimento da circunferência

                                         C= 2 π r
c = comprimento da circunferência
π = 3,14
r = raio da circunferência

EX1= Determine o comprimento da circunferência cujo raio mede 10 cm.

c = 2 π r
c = 2 . 3,14 . 10
c = 6,28 . 10
c = 32,8 cm

Teorema de Pitágoras

                                                            hip² = C1² + C2²

Razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º

Trigonometria

Trigonometria é um ramo da matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano onde um dos ângulos do triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo).

Inequações do 2º grau

As inequações são expressões matemáticas que utilizam, na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:

>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
≠: diferente


As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

Estudo do sinal de uma função quadrática

REGRINHAS:

1- Calcular o(s) zero(s) da função.

Obs. 1. O(s) zero(s) da função são os valores de “x” que tornaram a função NULA.

2- Para verificar os valores de “x” que tornam a função positiva ou negativa, basta pegar o antecessor e o sucessor do(s) o(s) zero(s) da função e substituir em “x“ pra verificar se a função é positiva, negativa ou nula, conforme foi realizado no exemplo em sala de aula e que vocês copiaram no caderno.

3- Após a substituição, deve-se escrever os valores de “x” que tornam a função positiva, negativa ou nula.

OBS:

Y > 0 – Função POSITIVA.
Y < 0 – Função NEGATIVA.
Y = 0 – Função NULA

Valor máximo e mínimo da função quadrática

Regrinhas:
 1- Calcular o 'Xv'
2- Substituir o 'Xv' na função dada na questão para encontrar o 'YV'
3- O valor máximo ou mínimo da função quadrática será o valor do 'y'.

Coordenadas do Vértice

Zeros da Função Quadrática

y = x ² + 2x - 3
0 = x² + 2x - 3
x² + 2x - 3 = 0

∆ = b² - 4.a.c
∆ = (2)² - 4 . (1) . (-3)
∆ = 4 +12
∆ = 16

x = (-b±√∆)/2a
x= - (2) ± √16/2 . 1
x= -2 ± 4/2

x¹ = -2+4/2 = 2/2 = 1
x² = - 2 - 4/2 = -6/2 = -3

R= 1 e -3

OBS = ∆ > 0 : DOIS ZEROS DA FUNÇÃO
∆ = 0 : UMZERO DA FUNÇÃO
 ∆ < 0 : NÃO HÁ ZERO DA FUNÇÃO!

Função Quadrática

É toda função escrita na forma y = ax² + bx + c , com a diferente de zero.

Exemplo:
Determine f (5) na função f (x) = x² + 5x + 6
                   f (x) = x² + 5x + 6
                f (5) = (5)² + 5 . (5) +6
                   f (5) = 25 + 25 + 6
                        f (5) = 56

Inequação do 1º grau

inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.

Onde a, b são números reais com a ≠ 0.

Exemplos:

-2x + 7 > 0
x – 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 – x < 0

Resolvendo uma inequação de 1° grau

Uma maneira simples de resolver uma equação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos:

Exemplo1: Resolva a inequação -2x + 7 > 0.

Solução:
-2x > -7
Multiplicando por (-1)

2x < 7
x < 7/2

Portanto a solução da inequação é x < 7/2.

Exemplo 2: Resolva a inequação 2x – 6 < 0.

Solução:
2x < 6
x < 6/2
x < 3

Portanto a solução da inequação e x < 3

Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:

1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.

Exemplo 1:
-2x + 7 > 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2

Exemplo 2:
2x – 6 < 0
2x – 6 = 0
x = 3

Função do 1º grau

Zero da Função

  Denominamos zero da função o valor de x para o qual a função de x é igual a zero, ou seja, o valor de x que faz com que y seja igual a zero.

    Exemplo:

Determine o zero da função definida por y = 2x - 2

2x - 2 = 0

2x = 2

x = 2/2

x = 1

Estudo do sinal da Função

Em uma função, podemos determinar os valores reais de x que a tornam positiva, negativa ou nula.

Quando y = 0 a função será NULA

Quando y > 0 a função será POSITIVA

Quando y < 0 a função será negativa.

   

Representação gráfica de uma função afim

Função afim, linear e constante

Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que define função afim é:

Função linear

Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈ R. A lei que define uma função linear é a seguinte:

Função constante

Uma função definida por f: R→R chama-se constante quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x ∈ R. A lei que define uma função constante é:

Coeficientes numéricos

Cada coeficiente numérico de uma função caracteriza um elemento do gráfico dessa função.

• Coeficiente a: coeficiente angular de uma reta. A é igual à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x.

Quando a > 0, a função é crescente.
Quando a < 0, a função é decrescente.

• Coeficiente b: é a ordenada do ponto em que o gráfico de f cruza o eixo das ordenadas, ou seja, b = f(0).

Domínio, contradomínio, conjunto imagem e valor de uma função

O domínio contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o contradomínio é o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio. Define-se imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.

Função x Relação

Uma função é uma relação entre duas variáveis x e y tal que o conjunto de valores para x é determinado, e a cada valor x está associado um e somente um valor para y.

*A relação é expressa por y = f(x).
*O conjunto de valores de x é dito domínio da função.
*As variáveis x e y são ditas, respectivamente, independente e dependente.

Equações irracionais

Regrinhas:

1- Para resolver uma equação irracional devemos elevar os dois membros da equação ao valor semelhante ao indíce do radical da equação. Após isso aplicamos as propriedades de radiciação e potenciação para eliminar o radical e resolver a questão.

2- Ao final da resolução devemos escrever o conjunto verdade.

Equações Biquadradas

     Equação biquadrada é uma equação escrita da seguinte forma geral: ax⁴ + bx2 + c = 0.

Forma fatorada de uma equação do 2º grau

a(x-x) . (x-x²) = 0

Exemplo 1:

a) x² - 7x + 12 = 0
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (-7)² -4.1.12
∆ = 49 - 48
∆ =1

x = (-b±√∆)/2a
x = (-(-7)±√1)/2.1
x = (7±1)/2
x' = (7+1)/2 = 8/2 = 4
x'' = (7-1)/2 = 6/2 = 3

(x-4)(x-3)

Relação entre coeficientes e raízes

Equações literais

As equações literais são conhecidas por possuírem seus coeficientes representados por letras. Esse modelo de equação é utilizado no intuito de aprimorar o desenvolvimento da expressão de Bhaskara, dado os coeficientes numéricos das equações de 2º grau. Dessa forma, ao iniciar esse conteúdo, trabalhe a resolução desse modelo de equação, lembrando que uma equação literal possui como solução uma relação de dependência entre a incógnita e o coeficiente literal.

Apresente exemplos de equações literais do 2º grau e os coeficientes relacionados à incógnita da equação. Veja:

x² – 7ax + 10a² = 0 (a > 0)

Coeficientes:

a = 1
b = –7a
c = 10a²

x² – (m + 3)x + 3m = 0 (m > 3)
Coeficientes:
a = 1
b = m + 3
c = 3m

x² + 8mx = 0
Coeficientes:
a = 1
b = 8m
c = 0

px² – 4x + 4px = 0 (p ≠ 0)
Coeficientes:
a = p
b = –4x
c = 4p

Apresente modelos de equações literais resolvidas utilizando o método de Bhaskara para as equações completas e os métodos da fatoração para as incompletas.

Incompleta

x² + 8mx = 0 (aplicar fator comum em evidência)
x * (x + 8m) = 0

x’ = 0

x + 8m = 0
x’’ = –8m

Conjunto Solução: {x’ = 0 e x’’ = –8m}

Completa

x² – 3ax + 2a² = 0 (a > 0)

a = 1, b = –3a e c = 2a²

∆ = b² – 4ac
∆ = (–3a)² – 4 * 1 * 2a²
∆ = 9a² – 8a²
∆ = a²

Conjunto Verdade: V ={ 2a,  a}

Fórmula de Bhaskara

                                                    

Delta

                                               b²-4ac

Equações incompletas

Equações do 2º grau

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x toda equação na forma:

ax² + bx +c =0

Resolução de uma equação do 2º grau:

Regrinhas:

1- Colocar em evidência a variável (x) que tiver o menor grau.

2- Definir (x¹) e (x²)

3- O (x¹) sempre vai ser igual a zero, pois deve-se igualar o (x) do fator externo á zero.

4- O (x²) será encontrado após igualar os termos que estão dentro dos parênteses a zero.

5- Resolver a equação e escrever o conjunto verdade.

Multiplicação e Divisão de Radicais

Adição e Subtração de Radicais.

1º caso = radicais semelhantes.

Regrinhas: 1- para adicionar ou subtrair radicais semelhantes basta repetir o radical e adicionar ou subtrair os fatores externos!

2º caso = radicais diferentes.

Regrinhas: 1- simplificar os radicais tornando-os semelhantes. 2- adicionar ou subtrair os fatores externos de maneira semelhante ao 1º caso.

3º caso = quando apenas alguns radicais são semelhantes.

Regrinhas: 1- identificar os radicais semelhantes. caso o radical não esteja simplificado, deve-se realizar o processo de simplificação. 2- adicionar ou subtrair apenas os radicais semelhantes. 3- repetir os radicais que não são semelhantes.

Radicais Semelhantes.

Dois ou mais radicais que têm o mesmo índice e o mesmo radicando são chamados radicais semelhantes.

Exemplos:

Em alguns casos, os radicais apresentam índices ou radicandos diferentes, porém, após algumas transformações, podem-se obter radicais semelhantes.

Exemplos:

Comparação de Radicais.

Comparar radicais significa estabelecer uma relação de igualdade ou desigualdade entre eles.

Observe a igualdade:











Podemos escrever:

Daí, concluímos que, para introduzir um fator externo no radicando, devemos escrevê-lo com um expoente igual ao produto do índice do radical pelo seu expoente.

Exemplo:

                                      
Regrinhas::

1- Tirar o MMC dos índices.
2- Colocar o resultado do MMC como novo índice.
3- Repetir números que formam a base das potências do radicando.
4- Dividir o novo índice pelo velho e multiplicar pelo expoente antigo.
5- Escrever o resultado como novo expoente.
6- THE END :)

Simplificação de radicais.

Regrinhas:

1º caso: Quando o índice e o expoente tem fator comum deve-se dividir "ao mesmo tempo" o índice e o radical pelo fator comum.

2º  caso: Quando um dos fatores do radicando tem o expoente igual ao índice deve-se "cancelar" o expoente, passando para fora do radical o fator que teve o expoente "cancelado".

Propriedades dos Radicais.

Determinação da Raiz de um número real.

1º caso:

Exemplo 1: a > 0 e o índice n é um número inteiro positivo, diferente de 1.



2º caso:

Exemplo 1: a < 0 e o índice n é um número inteiro positivo ímpar, diferente de 1.

Raiz de um número real.

Propriedades da Potência.

5º caso: produto de potências da mesma base.















6º caso: divisão ou quociente de potências de mesma base.

EX1: (7)³ : (7)² = (7)¹

7º caso: potência de uma potência.








8° caso: potência de um produto.

EX1: (4 . 7)³ = (4)³ . (7)³


9º caso: potência de um quociente.

Potenciação.

1º caso: expoente maior que 1:

EX1: 3² =  3 . 3 = 9
EX2: 2³  = 2 . 2 . 2 = 8

2º caso: expoente é 1:

EX1: 5¹= 5
EX2: 7¹= 7

3º caso: expoente igual a zero.

EX1: 9º= 1
EX2: 4º=1

4º caso: expoente negativo:

EX1:    

Atualização.

Blog atualizado pelas alunas do 9º ano ( 8ª série ) do turno vespertino da disciplina de Matemática do Centro Educacional Objetivo ( CEOB ) . Trabalho solicitado pelo professor de Matemática Anderson Macedo.

Componentes :

Danielle Barbosa ;
Márcya Ellen ;
Islany Oliveira ;
Maria Eduarda ;
Keilane Carmo ;
Maria Luíza 
Itana Carvalho!